ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ(1)

ベイズの定理の発見

Thomas_Bayes

ベイズ(Thomas Bayes, 1701-1761)の肖像画としてこの画像が使われることが多いのですが、実際にはおそらくこれは別人の画であろうと考えられています。残念ながら、たしかなベイズ本人の肖像画は現代に伝わっていません。(1)

ベイズは、18世紀のおもに前半に生きたイギリスの、数学好きの牧師さんでした。もっともこれはイギリス国教会がそれ以外の教派への弾圧を強めていた時代であり、ベイズの属する長老派教会の信者の大半は大学の公職に就くことができませんでした。そのため当時、非国教徒の数学者や科学者は、牧師などで生計を立てつつ趣味として研究を続けることも少なくなかったのだそうです。統計学の中で非主流派の時代が続いてきたベイズ統計学の系譜が、やはり非主流派の宗教家に由来することは面白い偶然ですね。

彼が考えたのは、試行の回数と、ある結果が生じた(生じなかった)回数がわかっているときに、将来の試行においてその結果が生じる確率を推論する問題です。例えば、当たりつきのお菓子をいくつか購入し、そのうち当たりだったものの個数がわかっている状況において、次にお菓子を買って当たりが出る確率を推論するような場合です。

ベイズは大学の職業研究者ではなかったので、発見した定理について書き残しはしたものの、特にそれを対外的に発表はしませんでした。ベイズの死後、その数学関係の遺稿を整理していたリチャード・プライス(2)がこの発見の重要性に気づき、彼の手により20年近くを経てやっと論文が公刊されました(3)。もっとも、このプライスが世に出したベイズの論文には、あまり現実場面での具体的な例は書かれていません。したがってベイズ自身がどのような問題意識でベイズの定理を着想したのか、その詳細はわからないのですが、デイヴィッド・ヒューム(4)の提起した懐疑論により科学が因果関係をどのように扱えるのかに関心が集まっていた、という時代背景が背後にあると考えられています。

もっとも、ベイズの論文が出版された当時、残念ながら研究者の間ではこの論文の重要性はほとんど顧みられることはなかったようです。ベイズの発見が広く知られるようになったのは、後に数学をはじめさまざまな分野で業績を挙げた高名な研究者ピエール=シモン・ラプラス(5)が独力でベイズの定理を再発見し、さらに体系化して発表してからです。ラプラスはベイズの定理を再発見しただけでなく、当時流行していた賭けトランプの問題から惑星の運行に関する問題まで、さまざまな不確かさを伴う推論の問題にベイズの定理を用いた推論が利用できることを示し、いわばベイズの定理を実用化しました。これが、ベイズの定理を用いて、不確実性を伴う現実の問題についての推論に取り組む、ベイズ統計学が最初に確立したときだと見ることができると思います。

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ベイズの定理とベイズ統計学

Bayes'_Theorem

英国ケンブリッジのAutonomy社にある、ネオンサインになったベイズの定理。(6)

ベイズの定理は、確率の更新についての定理です。データ(情報)を得る前から得た後で、不確実性のある事象や変数についての確率がどのように更新されるのかについて、ベイズの定理はその答えを与えてくれます。データを得る前の確率を事前確率、データを得た後でベイズの定理によって更新された確率を事後確率とそれぞれよびます。


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